Question

如图，直线L：与x轴、y轴分别交于A（4，0）、B（0，2）两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．
（1）求直线L的解析式；
（2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
（3）当t何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据速度乘以时间等于路程，可得AM的长，根据线段的和差，可得OM的长，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据全等三角形的性质，可得OM与OB的关系，根据OM的长，可得M点的坐标，根据线段的和差，可得AM的长根据AM的长，可得t值．

解答：解：（1）设直线L的解析式为y=kx+b，
由直线L：与x轴、y轴分别交于A（4，0）、B（0，2）两点，得

4k+b=0 b=2

，
解得

k=- 1 2 b=2

．
直线L的解析式为y=-

1

2

x+2；
（2）由动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，t秒运动了t个单位，
即AM=t．
①当0≤t＜4时，由线段的和差得OM=4-t，
△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式S=

1

2

OM•OC=

1

2

×4（4-t）=8-2t；
②当t＞4时，由线段的和差得OM=t-4，
△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式S=

1

2

OM•OC=

1

2

×4（t-4）=2t-8，
综上所述：S=

8-2t(0≤t＜4) 2t-8(t＞4)

；
（3）由△COM≌△AOB，得
OM=0B=2，即M（2，0）或（-2，0）．
①当OM=2时AM=OA-OM=4-2，即M行驶了2秒；
②当OM=-2时，AM=AO-OM=4-（-2）=6，即M行驶了6秒，
综上所述：当t=2时，△COM≌△AOB，此时M点的坐标（2，0）；
当t=6时，△COM≌△AOB，此时M点的坐标（-2，0）．

点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了待定系数法求解析式，（2）分类讨论是解题关键，根据三角形的面积公式得出函数解析式，（3）利用了全等三角形的性质．