Question

函数y=2

a-1

+

2-a

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：无理函数的最值

专题：计算题

分析：由二次根式的性质可得1≤a≤2，然后由柯西不等式求得y=2

a-1

+

2-a

≤

12+22

•

( a-1 )2+( 2-a )2

=

5

×

a-1+2-a

=

5

．

解答：解：根据题意得：

a-1≥0 2-a≥0

，
解得：1≤a≤2，
由柯西不等式得：y=2

a-1

+

2-a

≤

12+22

•

( a-1 )2+( 2-a )2

=

5

×

a-1+2-a

=

5

，（当且仅当2

2-a

=

a-1

，即a=

9

5

时，取等号）；
∴函数y=2

a-1

+

2-a

的最大值为：

5

．
故答案为：

5

．

点评：此题考查了无理函数的最值问题．此题难度适中，注意掌握柯西不等式的应用是解此题的关键，注意柯西不等式：ax+by≤

a2+b2

•

x2+y2

（当且仅当ay=bx时取“=”）．