Question

3．已知抛物线y=k（x-1）（x-$\frac{3}{k}$）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C，然后求出AC的长度，再分：
①k＞0时，点B在x轴正半轴时，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三种情况求解；
②k＜0时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左边，只有AC=AB一种情况列式计算即可．

解答 解：y=k（x-1）（x-$\frac{3}{k}$）=（x-1）（kx-3），
所以，抛物线经过点A（1，0），C（0，3），
AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
点B坐标为（$\frac{3}{k}$，0），
①k＞0时，点B在x正半轴上，
若AC=BC，则$\sqrt{（\frac{3}{k}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，解得k=3，
若AC=AB，则$\frac{3}{k}$-1=$\sqrt{10}$，解得k=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$，
若AB=BC，则$\frac{3}{k}$-1=$\sqrt{（\frac{3}{k}）^{2}+{3}^{2}}$，解得k=-$\frac{3}{4}$；不合题意，舍去；
②k＜0时，点B在x轴的负半轴，点B只能在点A的左侧，
只有AC=AB，则1-$\frac{3}{k}$=$\sqrt{10}$，解得k=-$\frac{\sqrt{10}+1}{3}$，
所以，能使△ABC为等腰三角形的抛物线共有3条．
故选：B．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论．