Question

【题目】在中，，，点是线段的中点，点在射线上，连接，平移，使点移动到点，得到（点与点对应，点与点对应），交于点．

（1）若点是线段的中点，如图1．

①依题意补全图1；

②求的长；

（2）若点在线段的延长线上，射线与射线交于点，若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②；（2）CE＝

【解析】

（1）①利用平移的性质画出图形；

②利用相似得出比例，即可求出线段DP的长．
（2）根据条件MQ＝DP，利用平行四边形的性质和相似三角形的性质，求出BN的长即可解决．

解：（1）①如图1，补全图形

②连接AD，如图1．
在Rt△ABN中，
∵∠B＝90°，AB＝4，BN＝1，
∴AN＝，
∵线段AN平移得到线段DM，
∴DM＝AN＝，
AD＝NM＝1，AD∥MC，
∴△ADP∽△CMP．
∴，

∴；

（2）如图，连接NQ，

由平移知：AN∥DM，且AN＝DM．
∵MQ＝DP，
∴PQ＝DM．
∴AN∥PQ，且AN＝PQ．
∴四边形ANQP是平行四边形．
∴NQ∥AP．
∴∠BQN＝∠BAC＝45°．
又∵∠NBQ＝∠ABC＝90°，
∴BN＝BQ．
∵AN∥MQ，
∴，

又∵M是BC的中点，且AB＝BC＝4，
∴，
∴NB＝或（负数舍去）．
∴ME＝BN＝．
∴CE＝