Question

7．如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE²=PA•PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D．
（1）求证：△PAE∽△PEC；
（2）求证：PE为⊙O的切线；
（3）若∠B=30°，AP=$\frac{1}{2}$AC，求证：DO=DP．

Answer 1

分析 （1）利用两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似即可；
（2）连接BE，转化出∠OEB=∠PCE，又由相似得出∠PEA=∠PCE，从而用直径所对的圆周角是直角，转化出∠OEP=90°即可；
（3）构造全等三角形，先找出OD与PA的关系，再用等积式找出PE与PA的关系，从而判断出OM=PE，得出△ODM≌△PDE即可．

解答 解：（1）∵PE²=PA•PC，
∴$\frac{PE}{PA}=\frac{PC}{PE}$，
∵∠APE=∠EPC，
∴△PAE∽△PEC；
（2）如图1，

连接BE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠OBE=∠PCE，
∴∠OEB=∠PCE，
∵△PAE∽△PEC，
∴∠PEA=∠PCE，
∴∠PEA=∠OEB，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠OEB+∠OEA=90°，
∵∠PEA+∠OEA=90°，
∴∠OEP=90°，
∵点E在⊙O上，
∴PE是⊙O的切线；
（3）如图，

过点O作OM⊥AC于M，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC，
∵BC⊥AC，
∴OM∥BC，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOM=30°，
∴OM=$\sqrt{3}$AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC，
∵AP=$\frac{1}{2}$AC，
∴OM=$\sqrt{3}$AP，
∵PC=AC+AP=2AP+AP=3AP，
∴PE²=PA×PC=PA×3PA，
∴PE=$\sqrt{3}$PA，
∴OM=PE，
∵∠PED=∠OMD=90°，∠ODM=∠PDE，
∴△ODM≌△PDE，
∴OD=DP．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的性质，全等三角形的判定和学生，解本题的关键是构造全等三角形，难点是找OD=PE．