Question

3．如图，已知等边△ABC．
（1）请用圆规和直尺作△ABC的内切圆（要求保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）若等边△ABC边长为2，求△ABC的内切圆的半径．

Answer 1

分析 （1）分别作∠ABC和∠ACB的平分线，它们相交于点O，其中∠ABC的平分线交AC于D，然后以O点为圆心，OD为半径作圆即可；
（2）根据等边三角形的性质得BD⊥AC，AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=1而∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，则在Rt△OCD中可利用∠OCD的正切计算出OD，从而得到△ABC的内切圆的半径．

解答 解：（1）如图，⊙O为所求；

（2）∵△ABC为等边三角形，
而BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=1，
∵OC平分∠ACB，
∴∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=$\frac{OD}{CD}$，
∴OD=1×tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即△ABC的内切圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的内切圆与内心．