Question

13．AD为△ABC的中线，D为BC中点，AE=AB，AF=AC，连接EF，EF=2AD
（1）如图1，求证：∠EAF+∠BAC=180°；
（2）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点N，若∠ABC=60°时，点G为EF中点，延长EB、FC交于点M，且BG=2BM，请你研究$\frac{AN}{CF}$的值，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）延长AD至H，使DH=AD，连接BH，证明△BDH≌△CDA，得到AC∥BH，得到∠ABH+∠BAC=180°，证明∠ABH=∠EAF即可得到答案；
（2）作AK⊥BC于K，连接CG，根据三角形全等的判定和性质求出AN和CF的长即可．

解答 （1）证明：延长AD至H，使DH=AD，连接BH，
∵EF=2AD，
∴AH=EF，
在△BDH和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDH=∠CDA}\\{DH=AD}\end{array}\right.$，
∴△BDH≌△CDA，
∴HB=AC，∠BHD=∠CAD，
∴AC∥BH，
∴∠ABH+∠BAC=180°，
在△ABH和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{HB=AF}\\{AH=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△EAF，
∴∠ABH=∠EAF，
∴∠EAF+∠BAC=180°；
（2）$\frac{AN}{FC}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
证明：作AK⊥BC于K，连接CG，
∵△ABH≌△EAF，
∴∠AEG=∠BAD，
由（1）得，AD=$\frac{1}{2}$EF，又点G为EF中点，
∴EG=AD，
在△EAG和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠AEG=∠BAD}\\{EG=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAG≌△ABD，
∴∠EAG=∠ABC=60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠CBM=60°，
在△ACD和△FAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=FG}\\{AG=CD}\\{AF=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△FAG，
∴∠ACD=∠FAG，∠DAC=∠F，∠ADC=∠FGA，
∵AC=AF，∴∠ACF=∠AFC，
在四边形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF=360°，
则∠BCF=150°，
∴∠BCM=30°，
∴∠BMC=90°，
则BC=2BM，
设BD=a，则CD=BM=AG=a，CM=$\sqrt{3}$a，BG=2BM=2a，则AB=3a，
∵∠ABC=60°，∠AKB=90°，
∴∠BAK=30°，
∴BK=$\frac{3}{2}$a，AK=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，CK=DK=$\frac{1}{2}$a，
则AC=$\sqrt{A{K}^{2}+C{K}^{2}}$=$\sqrt{7}$a，
∵CK=DK，
∴∠ADC=∠ACD，
∵∠ADC=∠FGA，
∴∠AGN=∠ACB，
又∵∠GAN=∠CAB，
∴△GAN∽△CAB，
∴$\frac{AG}{AC}$=$\frac{AN}{AB}$，
∴$\frac{a}{\sqrt{7}a}$=$\frac{AN}{3a}$，
∴AN=$\frac{3\sqrt{7}a}{7}$，
∵FC=CM=$\sqrt{3}$a，
∴$\frac{AN}{FC}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查的是三角形相似的判定和性质、三角形全等的判定和性质，掌握它们的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质是解题的关键，注意本题难度较大，解答时要灵活运用所学的知识．