Question

已知A、B、C是半径为1的⊙O上的不同三点，过点A作OB、OC所在的直线的垂线AM、AN，其中M、N为垂足，则线段MN的最大值是

 

．

Answer 1

考点：正弦定理与余弦定理,四点共圆

专题：

分析：易证A、M、O、N四点在以OA为直径的圆上，根据正弦定理得

MN

sin∠MAN

=OA=1，则有MN=sin∠MAN，sin∠MAN的最大值就是MN的最大值．

解答：解：连接OA，如图．
∵AM⊥OB，AN⊥OC，
∴∠AMB=∠ANO=90°，
∴A、M、O、N四点在以OA为直径的圆上，
根据正弦定理得

MN

sin∠MAN

=OA=1
∴MN=sin∠MAN．
∵sin∠MAN≤1，
∴当sin∠MAN=1即∠MAN=90°时，MN取最大值，最大值为1．
故答案为：1．

点评：本题主要考查了四点共圆的判定、正弦定理等知识，本题所使用的四点共圆的判定方法是：若四点构成的四边形的外角等于内对角，则四点共圆；所使用的正弦定理的内容是：若a、b、c分别是△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C的对边，则有

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2r（r为△ABC外接圆的半径）．