Question

5．
【问题情境】
将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．
【探究展示】
小宇同学展示出如下正确的解法
解：OM=ON，
证明如下：
连接CO，则CO是AB边上的中线
∵CA=CB，
∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，
∴OM=ON（依据2）
【反思交流】
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指
依据1：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）
依据2：角平分线上的点到角的两边距离相等
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
【拓展延伸】
（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM，ON，试判断线段OM，ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质和角平分线性质得出即可；
（2）证△OMA≌△ONB（AAS），即可得出答案；
（3）求出矩形DMCN，得出DM=CN，△MOC≌△NOB（SAS），推出OM=ON，∠MOC=∠NOB，得出∠MOC-∠CON=∠NOB-∠CON，求出∠MON=∠BOC=90°，即可得出答案．

解答 （1）解：
依据1：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；
依据2：角平分线上的点到角的两边距离相等．
 
（2）证明：∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB．
∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∵在△OMA和△ONB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}\\{OA=OB}\\{∠AMO=∠BNO}\end{array}\right.$，
∴△OMA≌△ONB（AAS），
∴OM=ON． 

（3）解：OM=ON，OM⊥ON．
理由如下：
如图2，连接OC，
∵∠ACB=∠DNB，∠B=∠B，
∴△BCA∽△BND，
∴$\frac{AC}{DN}$=$\frac{BC}{BN}$，
∵AC=BC，
∴DN=NB．
∵∠ACB=90°，
∴∠NCM=90°=∠DNC，
∴MC∥DN，
又∵DF⊥AC，
∴∠DMC=90°，
即∠DMC=∠MCN=∠DNC=90°，
∴四边形DMCN是矩形，
∴DN=MC，
∵∠B=45°，∠DNB=90°，
∴∠3=∠B=45°，
∴DN=NB，
∴MC=NB，
∵∠ACB=90°，O为AB中点，AC=BC，
∴∠1=∠2=45°=∠B，OC=OB（斜边中线等于斜边一半），
在△MOC和△NOB中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠1=∠B}\\{CM=BN}\end{array}\right.$，
∴△MOC≌△NOB（SAS），
∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，
∴∠MOC-∠CON=∠NOB-∠CON，
即∠MON=∠BOC=90°，
∴OM⊥ON．

点评 本题考查了几何变换综合、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质和判定、角平分线性质等知识点的应用，培养了学生运用定理进行推理的能力，正确应用全等三角形的判定与性质是解题关键．