Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，AB=4cm．点P从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向终点B运动．当点P与点A、B不重合时，过点P作PQ⊥AB交射线AC于点Q，以AP，AQ为邻边向上作平行四边形APMQ．设点P的运动时间为x（s），解答下列问题．

（1）∠A=　 　°；

（2）当点M在BC上时，x的值为　 　；

（3）设平行四边形APMQ与△ABC的重叠部分图形的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式；

（4）整个运动过程中，直接写出△ABM为直角三角形时x的值．

Answer 1

【答案】（1）60；（2）；（3）；（4）或2

【解析】

（1）求出∠A的余弦值即可解决问题．

（2）利用平行线分线段成比例定理，构建方程求解即可．

（3）分三种情形：如图1中，当0＜x≤时，重叠部分是平行四边形APMQ．如图3中，当＜x≤1时，重叠部分是五边形APEFQ．如图4中，当1＜x＜4时，重叠部分是四边形APEC．分别求解即可解决问题．

（4）分两种情形：①当∠AMB=90°，利用相似三角形的性质构建方程求解．②当∠ABM=90°时，利用三角形的中位线定理求解即可．

（1）如图中，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=2cm，AB=4cm，

∴cosA=，

∴∠A=60°，

故答案为：60．

（2）如图2中，当点M落在BC上时，

由题意知，PA=xcm，

∵四边形APMQ是平行四边形，

∴PM=AQ=2AP=2x，

∵PM∥AC，

∴，

∴，

∴x=．

故答案为：．

（3）如图1中，当0＜x≤时，重叠部分是平行四边形APMQ，

在Rt△APQ中，∵∠AQP=30°，AP=x，

∴AQ=2x，PQ=x，

∴y=SAPMQ=AP×PQ=x2．

如图3中，当＜x≤1时，重叠部分是五边形APEFQ，AP=x，

∴AQ=PM=2x，PB=4﹣x，

∴PE=（4﹣x）．

∴EM=PM﹣PE=2x﹣（4﹣x）=x﹣2，

∴EF=（x﹣2）．

∴y=SAPMQ﹣S△EFM=x2﹣×（x﹣2）2=﹣x2+5x﹣2．

如图4中，当1＜x＜4时，重叠部分是四边形APEB，AP=x，

∴AQ=2x，BP=4﹣x，

∴PE=（4﹣x）．

∴BE=（4﹣x），

∴CE=2﹣（4﹣x）=x．

∴y=S四边形ACEP=（PE+AC）CE= [（4﹣x）+2]×x=﹣x2+x．

综上所述，y=．

（4）如图5中，当∠AMB=90°时，设PQ交AM于F，

∵∠PAF=∠BAM，∠APF=∠AMB=90°，

∴△APF∽△AMB，

∴，

∵PA=x，PQ=x，PF=FQ=x，

∴AF=x，

∵四边形APMQ是平行四边形，

∴AM=2AF=x，

∴，

∴x=，（舍去）．

如图6中，当∠ABM=90°时，设AM交PQ于F．

∵∠APF=∠ABM=90°，

∴PF∥BM，

∵AF=FM，

∴AP=PB=2，

∴x=2，

综上所述，满足条件的x的值为或2．