Question

【题目】如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E，过点 D 作DF // EA 交 BA 的延长线于点 F．

（1）求证：四边形 AEDF 是矩形；

（2）连接BD，若 AB=AE=2，tan FAD ，求 BD 的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析，（2）．

【解析】

（1）由四边形ABCD是平行四边形，AE⊥DC，DF⊥BA，易证得四边形AEDF是平行四边形，继而证得四边形AEDF是矩形；

（2）由四边形AEDF是矩形，可得在Rt△AFD中tan∠FAD== ，继而求得BF的长，然后由勾股定理求得答案．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，即AF∥ED，

∵AE⊥DC，DF⊥BA，

∴DF∥EA， ∴四边形AEDF是平行四边形，

∵AE⊥DE， ∴∠E=90°，

∴四边形AEDF是矩形；

（2）如图，连接BD， ∵四边形AEDF是矩形，AB=AE=2

∴FD=AE=2，∠F=90°，

∵在Rt△AFD中，tan∠FAD==，

AF=5，

AB=2， ∴BF=AB+AF=7，

在Rt△BFD中，BD=．