Question

已知关于x的一元二次方程x²-（k+2）x+2k=0（k为常数）．
（1）求证：无论k取何实数，该方程总有实数根；
（2）若该方程的两根互为倒数，求该方程的两根．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）先计算判别式的值得到△=（k-2）²，然后根据非负数的性质得△≥0，则根据判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得到2k=1，解得k=

1

2

，原方程变形为x²-

5

2

x+1=0，整理得2x²-5x+2=0，然后利用因式分解法解方程．

解答：（1）证明：∵△=（k+2）²-4×2k=k²-4k+4=（k-2）²≥0，
∴无论k取何实数，该方程总有实数根；
（2）解：根据题意得2k=1，解得k=

1

2

，
原方程变形为x²-

5

2

x+1=0，
整理得2x²-5x+2=0，
（2x-1）（x-2）=0，
解得x₁=

1

2

，x₂=2．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式（△=b²-4ac）：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．