Question

9．已知二次函数y=x²+mx+n的图象经过点P（-3，1），对称轴是经过（-1，0）且平行于y轴的直线．
（1）求m、n的值；
（2）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．

Answer 1

分析 （1）利用对称轴公式求得m，把P（-3，1）代入二次函数y=x²+mx+n得出n=3m-8，进而就可求得n；
（2）根据（1）得出二次函数的解析式，根据已知条件，利用平行线分线段成比例定理求得B的纵坐标，代入二次函数的解析式中求得B的坐标，然后利用待定系数法就可求得一次函数的表达式．

解答 解：∵对称轴是经过（-1，0）且平行于y轴的直线，
∴-$\frac{m}{2×1}$=-1，
∴m=2，
∵二次函数y=x²+mx+n的图象经过点P（-3，1），
∴9-3m+n=1，得出n=3m-8．
∴n=3m-8=-2；
（2）∵m=2，n=-2，
∴二次函数为y=x²+2x-2，
作PC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则PC∥BD，
∴$\frac{PC}{BD}$=$\frac{PA}{AB}$，
∵P（-3，1），
∴PC=1，
∵PA：PB=1：5，
∴$\frac{1}{BD}$=$\frac{1}{6}$，
∴BD=6，
∴B的纵坐标为6，
代入二次函数为y=x²+2x-2得，6=x²+2x-2，
解得x₁=2，x₂=-4（舍去），
∴B（2，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=1}\\{2k+b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式为y=x+4．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式，根据已知条件求得B的坐标是解题的关键．