Question

18．如图，已知函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E
（1）若AC=$\frac{3}{2}$OD，求a、b的值；
（2）若BC∥AE，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）首先利用反比例函数图象上点的坐标性质得出k的值，再得出A、D点坐标，进而求出a，b的值；
（2）设A点的坐标为：（m，$\frac{4}{m}$），则C点的坐标为：（m，0），得出tan∠ADF=$\frac{AF}{DF}$=$\frac{\frac{4}{m}-2}{m}$，tan∠AEC=$\frac{AC}{EC}$=$\frac{\frac{4}{m}}{2}$，进而求出m的值，即可得出答案．

解答 解；（1）∵点B（2，2）在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=4，则y=$\frac{4}{x}$，
∵BD⊥y轴，∴D点的坐标为：（0，2），OD=2，
∵AC⊥x轴，AC=$\frac{3}{2}$OD，∴AC=3，即A点的纵坐标为：3，
∵点A在y=$\frac{4}{x}$的图象上，∴A点的坐标为：（$\frac{4}{3}$，3），
∵一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}a+b=3}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=2}\end{array}\right.$；

（2）设A点的坐标为：（m，$\frac{4}{m}$），则C点的坐标为：（m，0），
∵BD∥CE，且BC∥DE，
∴四边形BCED为平行四边形，
∴CE=BD=2，
∵BD∥CE，∴∠ADF=∠AEC，
∴在Rt△AFD中，tan∠ADF=$\frac{AF}{DF}$=$\frac{\frac{4}{m}-2}{m}$，
在Rt△ACE中，tan∠AEC=$\frac{AC}{EC}$=$\frac{\frac{4}{m}}{2}$，
∴$\frac{\frac{4}{m}-2}{m}$=$\frac{\frac{4}{m}}{2}$，
解得：m=1，
∴C点的坐标为：（1，0），则BC=$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及锐角三角函数关系等知识，得出A，D点坐标是解题关键．