Question

如图，等边△ABC中，D为AC中点，∠EDF=120°，当点F在线段AB上，点E在BC的延长线上．
（1）AF、CE与AB之间的数量关系是

 

；
（2）BE、BF与AB之间的数量关系是

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质得出AB=AC=BC，∠A=∠B=∠ACB=60°，求出DG=DC，∠GDF=∠CDE，根据ASA推出△DCE≌△DGF，根据全等三角形的性质得出CE=GF，即可得出答案；
（2）根据上题证得的全等可以得到GF=BE，进而可以得出结论；

解答： 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DC=

1

2

AC，
∵DG∥BC，
∴∠AGD=∠B=∠ADG=∠C=60°，
∴△ADG为等边三角形．
∴AG=DG=AD，
∴DG=DC，
∵∠EDF=∠GDC=120°，
∴∠GDF=∠CDE，
在△DCE和△DGF中，

∠DGF=∠DCE DC=DG ∠GDF=∠CDE

，
∴△DCE≌△DGF（SAS）；
∴CE=GF，
∴AF-CE=AF-GF=AG=

1

2

AB，
即：AF-CE=

1

2

AB，
故答案为：AF-CE=

1

2

AB．

（2）∵△GDFF≌△CDE，
∴DF=DE．DG=DC．
∵BE+BF=BC+GF+BF，
∴BE+BF=BG+BC
设BA=BC=AC=2a，
∴CD=AD=BG=a，
∴BC+BG=3a，
∴BC+BG=

3

2

AB，
即：BE+BF=

3

2

AB．
故答案为：BE+BF=

3

2

AB．

点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，线段中点的性质的运用，解答时正确作辅助线证明三角形全等是关键．