Question

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x²-1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．
（1）求N的函数表达式；
（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA²+PB²的最大值；
（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数N的图象是由二次函数M翻折、平移得到所以a=-1，求出二次函数N的顶点坐标即可解决问题．
（2）由PA²+PB²=（m+1）²+n²+（m-1）²+n²=2（m²+n²）+2=2•PO²+2可知OP最大时，PA²+PB²最大，求出OP的最大值即可解决问题．
（3）画出函数图象即可解决问题．

解答 （1）解：二次函数y=x²-1的图象M沿x轴翻折得到函数的解析式为y=-x²+1，此时顶点坐标（0，1），
将此图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度得到二次函数图象N的顶点为（2，9），
故N的函数表达式y=-（x-2）²+9=-x²+4x+5．
（2）∵A（-1，0），B（1，0），
∴PA²+PB²=（m+1）²+n²+（m-1）²+n²=2（m²+n²）+2=2•PO²+2，
∴当PO最大时PA²+PB²最大．如图，延长OC与⊙C交于点P，此时OP最大，

∴OP的最大值=OC+PC=$\sqrt{17}$+1，
∴PA²+PB²最大值=2（$\sqrt{17}$+1）²+2=38+4$\sqrt{17}$．
（3）M与N所围成封闭图形如图所示，

由图象可知，M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为25个．

点评 本题考查二次函数综合题、最值问题等知识，解题的关键是记住函数图象的平移、翻折变换的规律，学会转化的思想，把问题转化为我们熟悉的问题解决，属于中考压轴题．