Question

已知关于x的方程x²+2（m+2）x+m²-5=0有两个实数根x₁，x₂，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的平方和比两根的积大16？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：计算题

分析：（1）根据判别式的意义得到△=4（m+2）²-4（m²-5）≥0，然后解不等式即可；
（2）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系得到a+b=-2（m+2），ab=m²-5，再由a²+b²=ab+16变形得到（a+b）²-3ab=16，所以4（m+2）²-3（m²-5）=16，解此方程得到m₁=-1，m₂=-15，然后根据（1）中m的范围确定满足条件的m的值．

解答：解：（1）根据题意得△=4（m+2）²-4（m²-5）≥0，
解得m≥-

9

4

；
（2）存在．
设方程的两根分别为a、b，则a+b=-2（m+2），ab=m²-5，
∵a²+b²=ab+16，
∴（a+b）²-2ab=ab+16，即（a+b）²-3ab=16，
∴4（m+2）²-3（m²-5）=16，
整理得m²+16m+15=0，解得m₁=-1，m₂=-15，
∵m≥-

9

4

，
∴m=-1．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了根的判别式．