Question

14．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm²．已知y与t的函数关系图象如图②（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=$\frac{3}{5}$；③当0＜t≤5时，y=$\frac{2}{5}$t²；④当t=$\frac{29}{4}$秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③
• C． ①③④
• D． ②④

Answer 1

分析 根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各结论分析解答即可．

解答 解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5，
∴AD=BE=5，故①正确；

∵从M到N的变化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD-ED=5-2=3，
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{B{E}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴cos∠ABE=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{4}{5}$，故②错误；

过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{4}{5}$，
∴PF=PBsin∠PBF=$\frac{4}{5}$t，
∴当0＜t≤5时，y=$\frac{1}{2}$BQ•PF=$\frac{1}{2}$t•$\frac{4}{5}$t=$\frac{2}{5}$t²，故③正确；

当t=$\frac{29}{4}$秒时，点P在CD上，此时，PD=$\frac{29}{4}$-BE-ED=$\frac{29}{4}$-5-2=$\frac{1}{4}$，
PQ=CD-PD=4-$\frac{1}{4}$=$\frac{15}{4}$，
∵$\frac{AB}{AE}$=$\frac{4}{3}$，$\frac{BQ}{PQ}$=$\frac{5}{\frac{15}{4}}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BQ}{PQ}$，
又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故④正确．
综上所述，正确的有①③④．
故选：C．

点评 本题考查了动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口．