Question

1．如图，二次函数y=ax²+bx-3的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△BCM的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出该抛物线的解析式即可；
（2）根据B、C、M的坐标，由勾股定理可求得△BCM三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理的逆定理即可．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx-3的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
则抛物线解析式为y=x²-2x-3；
（2）△BCM为直角三角形，理由如下：
对于抛物线解析式y=x²-2x-3=（x-1）²-4，即顶点M坐标为（1，-4），
令x=0，得到y=-3，即C（0，-3），
根据勾股定理得：BC=3$\sqrt{2}$，BM=2$\sqrt{5}$，CM=$\sqrt{2}$，
∴BM²=BC²+CM²，
∴△BCM为直角三角形．

点评 此题考查了二次函数解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和逆定理是解决问题（2）的关键．