Question

[x]表示x的整数部分，方程[2x]+[3x]=9x-

7

4

的所有实数解有

 

．

Answer 1

考点：取整计算

专题：

分析：应用分类讨论思想，分别从当x为整数时与x不是整数去分析．在x不是整数时，首先设x=a+b（其中a为整数，b为小于1的正实数），然后分别从当0＜b＜

1

3

时，当

1

3

≤b＜

1

2

时，当

1

2

≤b＜

2

3

时，当

2

3

≤b＜1时去分析求解，注意检验，则可求得答案．

解答：解：当x为整数时，2x+3x=9x-

7

4

，解得x=

7

16

，不符合，故此时无解；
于是设x=a+b（其中a为整数，b为小于1的正实数），
当0＜b＜

1

3

时，2a+3a=9（a+b）-

7

4

，
∴4a+9b=

7

4

，
a=

7

16

-

9

4

b，
∵0＜b＜

1

3

，
∴-

5

16

＜a＜

7

16

，
∴a=0，b=

7

36

，
∴x=

7

36

；
当

1

3

≤x＜

1

2

时，2a+3a+1=9（a+b）-

7

4

，
∴4a+9b=

11

4

，
a=

11

16

-

9

4

b，
∵

1

3

≤b＜

1

2

，
∴-

7

16

＜a≤-

1

16

，无解；
当

1

2

≤b＜

2

3

时，2a+1+3a+1=9（a+b）-

7

4

，
∴4a+9b=

15

4

，
∵

1

2

≤b＜

2

3

，
∴-

9

16

＜a≤-

3

16

，无解；
当

2

3

≤b＜1时，2a+1+3a+2=9（a+b）-

7

4

，
∴4a+9b=

19

4

，
∵

2

3

≤b＜1，
∴-

17

16

＜a≤-

5

16

，
∴a=-1，b=

35

36

，
∴x=-1+

35

36

=-

1

36

．
故答案为：-

1

36

，

7

36

．

点评：此题考查了取整函数的知识，解题的关键是注意[x]≤x＜[x]+1性质的应用与分类讨论思想的应用，难度较大．