Question

10．如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，边AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N．
（1）直接写出D，E两点的坐标，D（0，$\frac{5}{2}$），E（2，4．）
（2）求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？
（3）当t为何值时，DP平分∠EDA？
（4）当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质可知：AE=OA，OD=DE，那么可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出BE的长，进而可求出CE的长，也就得出了E点的坐标．在直角三角形CDE中，CE长已经求出，CD=OC-OD=4-OD，DE=OD，用勾股定理即可求出OD的长，也就求出了D点的坐标；
（2）很显然四边形PMNE是个矩形，可用时间t表示出AP，PE的长，然后根据相似三角形APM和AED求出PM的长，进而可根据矩形的面积公式得出S，t的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值及对应的t的值；
（3）由DP是∠EDA的角平分线可知：PE=PM，然后结合相似三角形的性质列出关于t的方程，最后再求解即可；
（4）本题要分三种情况进行讨论：（Ⅰ）ME=MA时，此时MP为三角形ADE的中位线，那么AP=$\frac{AE}{2}$，据此可求出t的值，过M作MF⊥OA于F，那么MF也是三角形AOD的中位线，M点的横坐标为A点横坐标的一半，纵坐标为D点纵坐标的一半．由此可求出M的坐标．（Ⅱ）当MA=AE时，先在直角三角形OAD中求出斜边AD的长，然后根据相似三角形AMP和ADE来求出AP，MP的长，也就能求出t的值．根据折叠的性质，此时AF=AP，MF=MP，也就求出了M的坐标；（Ⅲ）EM=EA的情况不成立．

解答 解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∵在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4，BE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{B}^{2}}$=3．
∴CE=2．
∴E点坐标为（2，4）．
在Rt△DCE中，DC²+CE²=DE²，
又∵DE=OD．
∴（4-OD）²+2²=OD²．
解得：OD=$\frac{5}{2}$．
∴D点坐标为（0，$\frac{5}{2}$）．
故答案为：（0，$\frac{5}{2}$）；（2，4）．
（2）∵PM∥ED，
∴△APM∽△AED．
∴$\frac{PM}{ED}$=$\frac{AP}{AE}$，
∴PM=$\frac{AP•ED}{AE}$．
又∵AP=t，ED=$\frac{5}{2}$，AE=5，
∴PM=$\frac{\frac{5}{2}t}{5}$=$\frac{t}{2}$．
∵PM∥DE，MN∥EP，
∴四边形NMPE为平行四边形．
又∵∠DEA=90°，
∴四边形PMNE为矩形．
∴S_矩形PMNE=PM•PE=$\frac{t}{2}×（5-t）$=-$\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{5}{2}t$．
∴S_矩形PMNE=-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
又∵0＜$\frac{5}{2}$＜5．
∴当t=$\frac{5}{2}$时，S_矩形PMNE有最大值$\frac{25}{8}$．
（3）∵四边形NMPE是矩形，
∴PM⊥AD，PE⊥DE．
又∵DP平分∠EDA，
∴PE=PM．
由（2）可知：PM=$\frac{t}{2}$，PE=5-t．
∴$\frac{t}{2}$=5-t．
解得：t=$\frac{10}{3}$．
∴当t=$\frac{10}{3}$时，DP平分∠EDA．
（4）（Ⅰ）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA（如图①）

在Rt△AED中，ME=MA，
∵PM⊥AE，
∴P为AE的中点，
∴t=AP=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{5}{2}$．
又∵PM∥ED，
∴M为AD的中点．
过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，
∴MF=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{5}{4}$，OF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$，
∴当t=$\frac{5}{2}$时，（0＜$\frac{5}{2}$＜5），△AME为等腰三角形．
此时M点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）．
（Ⅱ）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图②）

在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{O{D}^{2}+A{O}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+{5}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$．
过点M作MF⊥OA，垂足为F．
∵PM∥ED，
∴△APM∽△AED．
∴$\frac{AP}{AE}$=$\frac{AM}{AD}$．
∴t=AP=$\frac{AM•AE}{AD}$=$\frac{5×5}{\frac{5\sqrt{5}}{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴PM=$\frac{1}{2}$t=$\sqrt{5}$．
∴MF=MP=$\sqrt{5}$，OF=OA-AF=OA-AP=5-2$\sqrt{5}$，
∴当t=2$\sqrt{5}$时，（0＜2$\sqrt{5}$＜5），此时M点坐标为（5-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．
（Ⅲ）根据图形可知EM=EA的情况不成立．
综合综上所述，当t=$\frac{5}{2}$或t=2$\sqrt{5}$时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）或（5-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．

点评 本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、图形的翻折变换、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用，由以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形进行分类讨论是解题的关键．