Question

11．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，CE=2，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；
（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAF+∠FAC=90°，
∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，
∴∠D+∠AOD=90°，
∴∠OAD=90°，
∴AD是⊙O的切线；
（2）连接BF，
∴∠FAC=∠AOD，
∴△ACE∽△OCA，
∴$\frac{AC}{OC}=\frac{AE}{OA}=\frac{CE}{AC}$，
∴$\frac{AC}{5}=\frac{AE}{5}=\frac{2}{AC}$，
∴AC=AE=$\sqrt{10}$，
∵∠CAE=∠CBF，
∴△ACE∽△BFE，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{BE}{EF}$，
∴$\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\frac{8}{EF}$，
∴EF=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．