Question

3．某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练．机器人从点A出发，在矩形ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知机器人的速度为1个单位长度/s，移动至拐角处调整方向需要1s（即在B、C处拐弯时分别用时1s）．设机器人所用时间为t（s）时，其所在位置用点P表示，P到对角线BD的距离（即垂线段 PQ的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图象如图②所示．
（1）求AB、BC的长；
（2）如图②，点M、N分别在线段EF、GH上，线段MN平行于横轴，M、N的横坐标分别为t₁、t₂．设机器人用了t₁（s）到达点P₁处，用了t₂（s）到达点P₂处（见图①）．若CP₁+CP₂=7，求t₁、t₂的值．

Answer 1

分析 （1）作AT⊥BD，垂足为T，由题意得到AB=8，AT=$\frac{24}{5}$，在Rt△ABT中，根据勾股定理得到BT=$\frac{32}{5}$，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）如图，连接P₁P₂．过P₁，P₂分别作BD的垂线，垂足为Q₁，Q₂．则P₁Q₁∥P₂Q₂．根据平行线的性质得到d₁=d₂，得到P₁Q₁=P₂Q₂．根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{{C{P_1}}}{6}=\frac{{C{P_2}}}{8}$．设M，N的横坐标分别为t₁，t₂，于是得到结论．

解答 解：（1）作AT⊥BD，垂足为T，由题意得，AB=8，AT=$\frac{24}{5}$，
在Rt△ABT中，AB²=BT²+AT²，
∴BT=$\frac{32}{5}$，
∵tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}=\frac{AT}{BT}$，
∴AD=6，
即BC=6；

（2）在图①中，连接P₁P₂．过P₁，P₂分别作BD的垂线，垂足为Q₁，Q₂．
则P₁Q₁∥P₂Q₂．
∵在图②中，线段MN平行于横轴，
∴d₁=d₂，即P₁Q₁=P₂Q₂．∴
P₁P₂∥BD．
∴$\frac{{C{P_1}}}{CB}=\frac{{C{P_2}}}{CD}$．
即$\frac{{C{P_1}}}{6}=\frac{{C{P_2}}}{8}$．
又∵CP₁+CP₂=7，
∴CP₁=3，CP₂=4．
设M，N的横坐标分别为t₁，t₂，
由题意得，CP₁=15-t₁，CP₂=t₂-16，
∴t₁=12，t₂=20．

点评 本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理矩形的性质，平行线分线段成比例定理，正确的作出辅助线是解题的关键．