Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）首先直接根据勾股定理求出BC的长度，再分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；
（2当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB=BP时；②当AB=AP时；③当BP=AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．

解答 （1）解：∵∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，
∴BC=4 cm．
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4 cm，
∴t=4．
②当∠BAP为直角时，BP=t cm，CP=（t-4）cm，AC=3 cm，
在Rt△ACP中，AP²=3²+（t-4）²，
在Rt△BAP中，AB²+AP²=BP²，
∴5²+[3²+（t-4）²]=t²，
解得t=$\frac{25}{4}$．
综上，当△ABP为直角三角形时，t=4或$\frac{25}{4}$．
（2）解：①当BP=BA=5时，∴t=5．
②当AB=AP时，BP=2BC=8cm，∴t=8． 
③当PB=PA时，PB=PA=t cm，CP=（4-t）cm，AC=3 cm，
在Rt△ACP中，AP²=AC²+CP²，
∴t²=3²+（4-t）²，解得t=$\frac{25}{8}$．
综上，当△ABP为等腰三角形时，t=5或8或$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．