Question

2．已知直线$y=\frac{1}{2}x$与反比例函数$y=\frac{k}{x}（k＞0）$图象交于A，B两点，点A坐标为（4，m），点P是反比例函数图象上的一动点，过P、O作直线OP，与反比例函数图象的另一交点为Q．
（1）求k的值；
（2）如图1，若点P的纵坐标为8，求四边形APBQ的面积；
（3）点P在运动过程中，是否存在以点P为顶点的矩形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法将x=4代入$y=\frac{1}{2}x$得y的值，进而可得A点坐标，再把A的坐标代入反比例函数可得k的值；
（2）过P作PD⊥x轴，作AE⊥x轴，首先求出P点坐标，再根据S_△AOP=S_△POD+S_梯形AEDC-S_△AOE代入数据可得△APO的面积，再根据平行四边形的性质可得S_{平行四边形APBQ}=4S_△AOP可得答案；
（3）当点P在第一象限时，分别过点A、P作x轴，y轴的垂线AM、PN，然后证出△OAM≌△OPN，求出P点坐标，再根据当点P在第三象限时，点P坐标即可．

解答 解：（1）将x=4代入$y=\frac{1}{2}x$得：y=2，
故A（4，2），
把A点坐标代入$y=\frac{k}{x}（k＞0）$可得k=8；

（2）过P作PD⊥x轴，作AE⊥x轴，
将y=8代入反比例函数解析式得：x=1，
即P（1，8），
∴DO=1，PD=8，
∵A（4，2），
∴EO=4，AE=2，
∵S_△AOP=S_△POD+S_梯形AEDC-S_△AOE=$\frac{1}{2}×1×8$+$\frac{1}{2}×$（2+8）-$\frac{1}{2}×4×2$=15，
又由双曲线的对称性可知，四边形APBQ为平行四边形，
∴S_{平行四边形APBQ}=4S_△AOP=4×15=60，

（3）当点P在第一象限时，如图2，
分别过点A、P作x轴，y轴的垂线AM、PN，
∵四边形APBQ为矩形，
∴AO=OP，
由双曲线关于一、三象限角平分线对称，
∴△OAM与△OPN关于一、三象限角平分线对称，
∴△OAM≌△OPN，
∴ON=OM=4，PN=AM=2，
∴点P的坐标为（2，4），
同理可得，当点P在第三象限时，点P坐标为（-2，-4），
综上，P点坐标为（2，4）（-2，-4）．

点评 此题主要考查了反比例函数综合，关键是掌握凡是函数经过的点必能满足解析式，平行四边形对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形．