Question

11．已知有正整数k，使得$\frac{8}{15}$＜$\frac{n}{n+k}$＜$\frac{7}{13}$成立，求正整数n的最小值．

Answer 1

分析 由$\frac{8}{15}$＜$\frac{n}{n+k}$＜$\frac{7}{13}$求得n、k的不等式7n＞8k，…①、6n＜7k，…②，因为n、k都是正整数，所以可设7n=8k+r，r为正整数…③，6n=7k-s，s为正整数…④
要使得$\frac{8}{15}$＜$\frac{n}{n+k}$＜$\frac{7}{13}$成立，且正整数n的值最小，则③×7-④×8消去k，得n=7r+8s≥15，即n取15即可

解答 解：由$\frac{8}{15}$＜$\frac{n}{n+k}$得7n＞8k，…①
由$\frac{n}{n+k}$＜$\frac{7}{13}$得6n＜7k，…②
n、k都是正整数，所以
由①得7n=8k+r，r为正整数…③
由②得6n=7k-s，s为正整数…④
③×7-④×8消去k，得n=7r+8s≥15
当r=s=1时，n=15，k=13
所以正整数n的最小值为15

点评 本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是推知要使n、k最小，就应该使上式的分子、分母所扩大的倍数最小．