在平面直角坐标系中.如图1放置△OAB.其中OA=OB.OB在x轴上.且B(5.0)．(1)D为AB的中点．若将△OAB绕D旋转180度后.O与C重合.得到△CBA①试判断四边形OACB的形状,②过A作AE⊥OB于E.如图2.AE交OC于F.连接BF.若四边形OACB的面积为20.求AE.OF.CF的长度．(2)若∠AOB=60°.如图3.①求点A的坐标,②△OAB绕A旋转90� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．在平面直角坐标系中，如图1放置△OAB，其中OA=OB，OB在x轴上，且B（5，0）．
（1）D为AB的中点．若将△OAB绕D旋转180度后，O与C重合，得到△CBA
①试判断四边形OACB的形状；
②过A作AE⊥OB于E，如图2，AE交OC于F，连接BF，若四边形OACB的面积为20，求AE、OF、CF的长度．
（2）若∠AOB=60°，如图3，
①求点A的坐标；
②△OAB绕A旋转90°后，此时点B在B′位置，连接OB′，求点B′坐标．

分析（1）①利用四边相等的四边形是菱形判断即可；
②先求出S_△OAB=$\frac{1}{2}$OB×AE=10，进而求出AE，即可得出点A的坐标；再利用勾股定理即可得出结论；
（2）①先判断出△AOB是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求出点A的坐标，
②构造出直角三角形，利用①的结论得出∠B'AF=30°，即可求出AF和B'F即可得出结论．

解答解：（1）①∵点D是AB中点，
∴AD=BD，
由旋转得，BC=OA，AC=OB，
∵OA=OB，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB是菱形；
②由旋转知，△ABC≌△BOA，
∴S_△ABC=S_△BOA，
∵四边形OACB的面积为20，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$OB×AE=10，
∵B（5，0），
∴OB=5，
∴AE=4，
根据勾股定理得，OE=3，
∴A（3，4），
∴D（4，2），
∴直线OC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
∴F（3，$\frac{3}{2}$），
∴OF=$\sqrt{9+\frac{9}{4}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∵四边形OACB是菱形，且A（3，4），B（5，0），
∴C（8，4），
∴OC=$\sqrt{64+16}$=4$\sqrt{5}$，
∴CF=OC-OF=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$；
（2）①如图，过点A作AD⊥OB，
∵OA=OB=5，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=5，OD=$\frac{5}{2}$，AD=$\frac{5}{2}\sqrt{3}$，
∴A（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}\sqrt{3}$），
②由①知，A（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}\sqrt{3}$），
过B'作B'E⊥OB，过点A作AF⊥B'E，
∴∠DAF=∠AFB'=90°，
∵△OAB绕A旋转90°后，此时点B在B′位置，
∴AB=AB'，∠BAB'=90°，
∴∠OAB'=150°，
∴∠B'AF=30°，
在Rt△AB'F中，AB'=AB=5，
∴B'F=$\frac{5}{2}$，AF=$\frac{5}{2}\sqrt{3}$，
∴OE=OD+AF=$\frac{5}{2}$+$\frac{5}{2}\sqrt{3}$，B'E=B'F+AD=$\frac{5}{2}$+$\frac{5}{2}\sqrt{3}$，
∴B'（$\frac{5}{2}$+$\frac{5}{2}\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$+$\frac{5}{2}\sqrt{3}$）．