Question

【题目】在平面直角坐标系中，点A（4，0），B为第一象限内一点，且为等边三角形，C为OB的中点，连接AC.

（I）如图①，求点C的坐标；

（I）如图②，将沿x轴向右平移得到，设，其中

①设与重叠部分的面积为S，用含m的式子表示S：

②连接,当取最小值时，求点E的坐标（直接写出结果即可）.

Answer 1

【答案】（I）点C的坐标为；（Ⅱ）①；②

【解析】

(1) 过C作，垂足为H.由可求出CH,OH的长度，C点的坐标;

(2)①根据点E是否在△OAB内,重合的面积的形状不同进行分类求解;

②作BG平行于x轴，作D点关于BG的对称点D’，连接D’B,则当D’,B,E三点共线时，线段和最小，可以表示出D’,B,E三点的坐标，并且共线求出m，即可求解.

解：（I）如图，过C作，垂足为H.

为等边三角形，

∵C为OB的中点，

∴点C的坐标为

（Ⅱ）①是平移得到的，

当时，如图，设AB与EF交于点G，

过点A作，垂足为I.

.

当时，如图，设AB与DE交于点K，

为等边三角形。

综上所述，

②作BG平行于x轴，作D点关于BG的对称点D’，连接D’B, 当D’,B,E三点共线时，线段和最小，

D(m,0), B(2,), D’(m,),E(m+1,)

设三点共线的直线方程为y=kx+b,代入得

解得

∴E