Question

20．一个圆锥的高为3cm，侧面展开图是半圆，求：
（1）圆锥的母线与底面半径之比；
（2）圆锥的表面积．

Answer 1

分析 （1）根据圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，分别设出圆锥的母线长和圆锥的底面半径，利用上述关系得到关系式求出两者的比值即可；
（2）根据圆锥的母线和底面半径的比设出圆锥的底面半径后表示出母线，然后利用勾股定理求得底面半径和母线长，从而利用圆锥的侧面积计算方法求得圆锥的表面积．

解答 解：如图，设圆锥的轴截面为△ABC，过A作AO⊥BC于O，设母线长AB=l，底面⊙O的半径为r，高AO=h．
（1）∵圆锥的侧面展开图是半圆，
∴2πr=$\frac{1}{2}$×2πl=πl，$\frac{l}{r}$=2．
（2）在Rt△ABO中，
∵l ²=r ²+h ²，l=2r，h=3 cm，∴（2r） ²=3 ²+r ²．
∵r为正数，解得r=$\sqrt{3}$，l=2r=2$\sqrt{3}$．
S _表=S _侧+S _底=$\frac{1}{2}$πl ²+πr ²=$\frac{1}{2}$π×（2$\sqrt{3}$） ²+π×（ $\sqrt{3}$） ²=9π．

点评 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是能够牢记圆锥的有关计算公式，难度不大．