Question

已知抛物线与x轴交点为A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．

（1）试用含m的代数式表示A、B两点的坐标；

（2）当点B在原点的右侧，点C在原点的下方时，若是等腰三角形，求抛物线的解析式；

（3）已知一次函数，点P（n，0）是x轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交抛物线于点N，若只有当时，点M位于点N的下方，求这个一次函数的解析式．

Answer 1

解：（1）令，有．

∴． ∴．

∴，．

∵点B在点A的右侧，

∴，．

（2）∵点B在原点的右侧且在点A的右侧，点C在原点的下方，抛物线开口向下，

∴．∴．

∴．

令，有．

∴．

∵是等腰三角形，且∠BOC =90°，

∴．即．

∴．

∴，（舍去）．

∴．

∴抛物线的解析式为．

（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4，

由此可得交点坐标为和．

将交点坐标分别代入一次函数解析式中，

得  解得

一次函数的解析式为．