Question

【题目】如图，已知为的直径，为的切线，连接，过作交于，连接交于，延长交于点

（1）求证：是的切线；

（2）若

①求的长；

②连接交于，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①12，②

【解析】

（1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理可得∠CAB=90°=∠ADB，由“SAS”判定△CDO≌△CAO，则∠CDO=∠CAO=90°，然后根据切线的判定定理可得到CD是⊙O的切线；
（2）①设⊙O半径为r，则OD=OB=r，在Rt△ODE中利用勾股定理得到r2+42=（r+2）2，解得r=6，即OB=6，然后根据平行线分线段成比例定理，由DB∥OC得到DE：CD=BE：OB，于是可计算出CD=12；
②由△CDO≌△CAO得到AC=CD=6，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=,再证明Rt△OAG∽△OCA，利用相似比计算出OG=，则CG=OC-OG=，易得BD=2OG=，然后利用CG∥BD得到．

证明：如图，连接

为的切线，为的直径

,

,

,

,

,且

,

,

,且是半径，

是的切线;

①设半径为,则

在中，

,解得

,

②由（1）得△CDO≌△CAO，
∴AC=CD=12，
在Rt△AOC中，OC=，
∵∠AOG=∠COA，
∴Rt△OAG∽△OCA，
∴，
即，
∴OG=，
∴CG=OC-OG=，
∵OG∥BD，OA=OB，
∴OG为△ABD的中位线，
∴BD=2OG=，
∵CG∥BD，
∴

∴