Question

16．如图，已知∠MON=90°，点A，B分别在射线MO，ON上，BE是∠ABN的平分线，射线BE的反向延长线与∠BAO的角平分线AC相交于点C．
（1）如图1，当∠BAO=70°时，∠ABC是多少度？
（2）当点A，B分别在射线OM，ON上移动时，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果不变，请求出∠ACB的度数；如果∠ACB的大小随点A，B的移动而发生变化，请求出∠ACB的度数的变化范围．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义可得：$∠NBE=\frac{1}{2}$∠NBA，然后根据对顶角相等可得：∠CBO=∠NBE，然后由三角形内角和定理可得：∠ABO=20°然后由三角形外角的性质可得：∠NBA=∠MON+∠BAO=160°，进而可得：∠CBO=∠NBE=$\frac{1}{2}$∠NBA=80°，然后由∠ABC=∠CBO+∠ABO即可求出答案；
（2）∠ACB的大小不随点A，B的移动而发生变化，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠ABN=∠OAB+∠MON，∠DBA=∠ACB+∠CAB，再根据角平分线的定义∠CAB=$\frac{1}{2}$∠OAB，∠DBA=$\frac{1}{2}$∠ABN，代入整理即可得到∠ACB=$\frac{1}{2}$∠MON=45°．

解答 解：（1）∵BE是∠ABN的平分线，
∴$∠NBE=\frac{1}{2}$∠NBA，
∵∠CBO=∠NBE，
∴∠CBO=$\frac{1}{2}∠NBA$，
∵∠MON+∠BAO+∠ABO=180°，∠MON=90°，∠BAO=70°，
∴∠ABO=20°，
∵∠NBA=∠MON+∠BAO=160°，
∴∠CBO=$\frac{1}{2}$∠NBA=80°，
∴∠ABC=∠CBO+∠ABO=80°+20°=100°；
（2）∠ACB的大小保持不变．理由：
∵∠ABN=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABN，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABN=$\frac{1}{2}$（90°+∠OAB）=45°+$\frac{1}{2}$∠OAB，
即∠ABE=45°+∠CAB，
又∵∠ABE=∠ACB+∠CAB，
∴∠ACB=45°，
故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°．

点评 本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意：
①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；
②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．