Question

(1)两个全等的等腰直角三角形ABC和三角形EDA如图放置，点B，A，D，在同一条直线上．那么点C，A，E在同一条直线上；

①在上图中，作∠ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF，垂足为F；

②猜想：线段BF，CE的关系，结论是：________．

(2)将(1)中的“等腰直角三角形”换成“直角三角形”，其它条件不变，如图，连结CE，请问你猜想的BF与CE的关系是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)①画图．　1分 　　②结论是：BF⊥CE，BF＝CE．　3分 　　(2)如图． 　　①证明BF＝CE． 　　∵BF为∠ABF的平分线，∠ABC＝90°， 　　∴∠CBF＝∠ABF＝45°． 　　∵DF⊥BF， 　　∴∠F＝90°． 　　∵点B，A，D在同一条直线上， 　　∴△BFD为直角三角形． 　　∴cos∠FBD＝． 　　∴BF＝． 　　又∵Rt△ABC≌Rt△EDA， 　　∴BC＝AD，BA＝DE． 　　设BC＝AD＝a，BA＝DE＝b， 　　∴BD＝a＋b． 　　∴BF＝．　4分 　　过E作EH∥BD交CB的延长线于H． 　　∵∠CBA＝90°，∠ADE＝90°， 　　∴∠CBA＝∠ADE． 　　∴CH∥DE． 　　∴四边形BHED为矩形． 　　∴BH＝DE＝b，HE＝BD＝a＋b． 　　∴CH＝a＋b． 　　∴△HCE等腰直角三角形． 　　由勾股定理，得CE＝．　5分 　　∴BF＝．　6分 　　②证明BF⊥CE． 　　∵Rt△CHE是等腰直角三角形， 　　∴∠HCE＝∠HEC＝45°． 　　∵∠FBC＝45°， 　　∴∠BGE＝∠HCE＋∠FBC＝90° 　　∴BF⊥CE．　7分 　　∴BF⊥CE，BF＝CE仍然成立．