Question

如图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=

2

．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起．现将△ABC保持不动，△DEF运动，且满足：点E在边BC上运动（不与B、C重合），且边DE始终经过点A，EF与AC交于M点．请问：在△DEF运动过程中，△AEM能否构成等腰三角形？若能，请求出BE的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：分若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45°、若AE=EM、若MA=ME 则∠MAE=∠AEM=45°三种情况分类讨论即可得到答案；

解答：解：①若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45°
∵∠C=45°
∴∠AME=∠C
又∵∠AME＞∠C
∴这种情况不成立；

②若AE=EM
∵∠B=∠AEM=45°
∴∠BAE+∠AEB=135°，∠MEC+∠AEB=135°
∴∠BAE=∠MEC
在△ABE和△ECM中

∠B=∠C ∠BAE=∠CEM AE=EM

∴△ABE≌△ECM（AAS），
∴CE=AB=

2

∵BC=

AB2+BC2

=2
∴BE=2-

2

；

③若MA=ME 则∠MAE=∠AEM=45°
∵∠BAC=90°∴∠BAE=45°
∴AE平分∠BAC
∵AB=AC∴BE=

1

2

BC=1．

点评：本题考查了等腰三角形的判定，特别是本题中渗透的分类讨论的数学思想，是中考的重点．