题目内容
13．已知矩形ABCD，AB=4，BD=2．现有另一个与矩形ABCD相似矩形EFGH，相似比为2：1．最初矩形EFGH的GH边放置在∠BCD的平分线处（如图1），现将矩形EFGH 沿着FG作一条直线l，再连接AH、BH、DH、BE，设BC与EH的交点为M，CD与 GH的交点为N（若没有交点则不计），回答下列问题．（1）如图1，当矩形ABCD矩形EFGH都不动时，求出矩形ABCD与矩形EFGH重合部分三角形的面积．
（2）如图2，现矩形ABCD不动，矩形EFGH沿直线l开始出发，以1m/s的速度移动．设移动时间为t，矩形ABCD与矩形EFGH重合部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式，并写出相应的取值范围，并且求出当t为多少时，S为最大值？
（3）如图3，矩形ABCD仍然不动，矩形EFGH运动一段时间后停止在某一个点，并且此时△CEH为等腰三角形，这时，在△AHC中，AH=HC成立吗？请说明理由，并求出此时S和t的值．
分析 （1）首先根据相似和矩形的性质，判断出△HMD为等腰直角三角形，然后再求出矩形ABCD与矩形EFGH重合部分三角形的面积即可；
（2）作过点D作DT⊥EN于点T，再根据矩形性质得出函数关系式，可求出最大值；
（3）首先连接AE，交CH与点Q，连接HD，则AC=CE=EH=2，所以ACEH是等腰梯形，进而判断出△AHC、△BHD是等腰三角形，所以AH=HC成立；然后根据（2）求出的S关于t的函数关系式，求出此时S和t的值各是多少即可．
解答 
解：（1）如图1，
∵HD平分∠BDC，
∴∠HDM=∠HDB=45°，
∵矩形ABCD相似于矩形EFGH，相似比为2：1，
∴HD=1，EH=2，
∵四边形EFHD为矩形，
∴∠MDH=90°，
∴△HMD为等腰直角三角形，即HD=HM=1，
∴△MHD面积=$\frac{1}{2}$．
（2）如图2，过点D作DT⊥EN于点T，
由题意和（1）可得：
∠BDG=∠CDF=45°
∵DG=t，∠DGN=90°，
∴NG=t，
∴HN=1-t，
∵∠EHG=∠HGF=90°，DT⊥EH，
∴四边形DTNG为矩形，
∴DT=1
∵∠HDG=45°，
∴∠HDT=45°，
∴S△MDT=$\frac{1}{2}$，S梯形=$\frac{1}{2}$（HN+DT）•HT，
∴S重合=S△MDT+S梯形THND，
∵HN=1-t，DT=1，HT=DG=t，
∴S=-t2+2t+$\frac{1}{2}$（0＜t＜3），
当t=1时，S为最大值．
（3）如图3，连接AE，交CH与点Q，连接HD，
则AC=CE=EH=2，
∴四边形ACEH是等腰梯形，
∴∠CAE=∠CEA，∠CHE=∠HCE，
又∵∠HAE=∠CEA，
∴∠HAE=∠CAE，
又∵∠AHC=∠HCE，
∴∠AHC=∠CHE，
∴∠HAC=∠HCA，
∴AH=CH，
在△ACH中，
2∠ACH+∠AHC=180°，
在△CEH中，
2∠CHE+∠CEH=180°，
∵∠CEH=∠AEH+∠CEA=∠ACH+∠CHE，
∴∠ACH+3∠CHE=180°，
又∵∠AHC=∠CHE，
∴∠AHC=36°，∠ACH=72°，
则∠CAH=72°，
∴AH=HC．
点评 （1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合方法的应用．
（2）此题还考查了相似的性质和应用，以及矩形的性质和应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握．
冲刺100分1号卷系列答案
如图，△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则阴影部分的面积为1cm2．| A． | 3 | B． | 1 | C． | -1 | D． | -$\frac{1}{2}$ |
如图，点O与线段AB在同一平面内，AO=AB=2，绕点O将线段AB旋转一周，则线段AB扫过的最小面积为4π．