Question

如图，已知Rt△ABC的直角边AC=24，斜边AB=25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是

112

3

．

Answer 1

分析：Rt△ABC的直角边AC=24，斜边AB=25，则另一直角边为7，圆心所经过的路径是一个与三角形相似的三角形，设三边分别为7a，24a，25a，则从图中我们可以看出三个梯形面积加上小三角形面积等于大三角形面积．三个梯形的高都是圆的半径1，所以可列方程，解之求得a的值，从而求得所构成的三角形的三边，求出周长，即为所求．

解答：解：设三边分别为7a，24a，25a，
则：

1

2

（24a+24）+

1

2

（7a+7）+

1

2

（25a+25）+

1

2

×7a×24a=

1

2

×24×7，
解得：a=

2

3

，
故构成的三角形的三边分别是

14

3

，16，

50

3

，
则当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度为

14

3

+16+

50

3

=

112

3

．
故答案为：

112

3

点评：此题考查了切线的性质，解题的关键是根据三个梯形面积加上小三角形面积等于大三角形面积，设出未知数，列出方程求所构成的三角形的三边长．