题目内容
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201111/49/ec645904.png)
(1)求PA的长;
(2)以点A为圆心,AP为半径作⊙A,试判断BE与⊙A是否相切,并说明理由.
分析:(1)在直角三角形ABC中,由∠CAB=30°,BC=5,根据直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,求出AC的长,再由CB与EA都与AB垂直,根据平面内垂直于同一条直线的两直线平行,得到AE与BC平行,根据两直线平行得到两对内错角相等,根据两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEP与三角形PBC相似,由相似得比例,将AE与BC的长代入,得到PA与PC的比值,再利用合比性质变形后,将AC的长代入即可求出PA的长;
(2)BE与圆O相切,理由为:在直角三角形ABE中,根据锐角三角函数定义由AE比AB得到tan∠ABE的值,利用特殊角的三角函数值求出∠ABE的度数,再由已知的∠PAB的度数,根据三角形的内角和定理求出∠APB为90°,可得出EB与AP垂直,即EB为圆O的切线,得证.
(2)BE与圆O相切,理由为:在直角三角形ABE中,根据锐角三角函数定义由AE比AB得到tan∠ABE的值,利用特殊角的三角函数值求出∠ABE的度数,再由已知的∠PAB的度数,根据三角形的内角和定理求出∠APB为90°,可得出EB与AP垂直,即EB为圆O的切线,得证.
解答:
解:(1)在Rt△ABC中,∠CAB=30°,BC=5,
∴AC=2BC=10,
∵CB⊥AB,EA⊥AB,
∴AE∥BC,
∴∠E=∠PBC,∠EAP=∠C,
∴△APE~△CPB,
又BC=5,AE=15,
∴
=
=3,
∴
=
=
=
,
∴PA=
AC=
×10=
;
(2)BE与⊙A相切,理由如下:
∵在Rt△ABE中,AB=5
,AE=15,
∴tan∠ABE=
=
=
,
∴∠ABE=60°,…(9分)
又∵∠PAB=30°,
∴∠ABE+∠PAB=90°,即∠APB=90°,
∴BE与⊙A相切..
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201111/49/ec645904.png)
∴AC=2BC=10,
∵CB⊥AB,EA⊥AB,
∴AE∥BC,
∴∠E=∠PBC,∠EAP=∠C,
∴△APE~△CPB,
又BC=5,AE=15,
∴
PA |
PC |
AE |
BC |
∴
PA |
AC |
PA |
PC+PA |
3 |
1+3 |
3 |
4 |
∴PA=
3 |
4 |
3 |
4 |
15 |
2 |
(2)BE与⊙A相切,理由如下:
∵在Rt△ABE中,AB=5
3 |
∴tan∠ABE=
AE |
AB |
15 | ||
5
|
3 |
∴∠ABE=60°,…(9分)
又∵∠PAB=30°,
∴∠ABE+∠PAB=90°,即∠APB=90°,
∴BE与⊙A相切..
点评:此题考查了切线的判定,相似三角形的判定与性质,平行线的性质,锐角三角函数定义,以及含30°直角三角形的性质,其中证明切线的方法有两种:有点连接圆心与此点,证明垂直得切线;无点作垂线,证明垂线段等于圆的半径.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目