题目内容

如图，已知：抛物线y=ax²+bx-4（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，A、B两点的坐标分别为A（-6，0）、B（2，0）．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）已知在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PB+PC的值最小，请求出点P的坐标；
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

解：（1）根据题意得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
则抛物线的函数表达式是：y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x-4；

（2）在：y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x-4，中令x=0，解得y=-4，则C的坐标是（0，-4）．
二次函数的解析式是：x=- $\text{[math]}$ =-2，
C关于x=-2的对称点C′的坐标是（-4，-4）．
设直线BC′的解析式是y=kx+b，
则 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
在直线的解析式是：y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，令x=-2，解得y=- $\text{[math]}$ ，
则P的坐标是：（-2，- $\text{[math]}$ ）；

（3）设D的坐标是（0，c），
设直线PC的解析式是y=ex+f，则
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
则直线的解析式是：y=- $\text{[math]}$ x-4，
因为CD=m，则D的坐标是（m-4，0），则直线DE的解析式是：y=- $\text{[math]}$ x+（m-4）．
令x=-2，解得：y=m- $\text{[math]}$ ，故F的坐标是（-2，m- $\text{[math]}$ ），则PF=m，
令y=0，解得：x= $\text{[math]}$ m-6．即OE=6- $\text{[math]}$ m．
E的面积为S= $\text{[math]}$ PF•OE= $\text{[math]}$ m（6- $\text{[math]}$ m），
即S=- $\text{[math]}$ m²+3m（0＜m＜4）．
当x= $\text{[math]}$ =2时，有最大值是：3．
分析：（1）把A、B的坐标代入二次函数的解析式，即可得到方程组求得a，b的值，从而得到函数的解析式；
（2）求出C关于对称轴的对称点C′坐标，然后利用待定系数法求得直线BC′的解析式，与对称轴的交点就是P；
（3）求得DE的解析式，进而得到PF、OE的长度，根据S= $\text{[math]}$ PF•OE即可求得函数的解析式．
点评：本题考查了对称点的性质，待定系数法求函数的解析式，直线平行的条件的综合应用，求得DE的解析式是关键．