Question

如图，已知一抛物线过坐标原点O和点A（1，h）、B（4，0），C为抛物线对称轴上一点，且OA⊥AB，∠COB=45°．
（1）求h的值；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若P为线段OB上一个动点（与端点不重合），过点P作PM⊥AB于M，PN⊥OC于N，试求

PM

OA

+

PN

BC

的值．

Answer 1

分析：（1）由OA⊥AB，∠COB=45°可知A（1，h），在Rt△OAB中，由勾股定理得到h；
（2）抛物线与x轴的交点为坐标原点O和B（4，0），故可设此抛物线的解析式为y=ax（x-4），又抛物线过点A(1，-

3

)，解得a；
（3）首先证明∠ONP=∠OCB、和∠PON=∠BOC，进而证明△PON∽△BOC，得到

PN

BC

=

OP

OB

和

PM

OA

=

PB

OB

，两式相加得到所求的式的值．

解答：解：（1）∵OA⊥AB，A（1，h），在Rt△OAB中，由勾股定理得：（1²+h²）+（3²+h²）=4²，
即h²=3
∵h＜0
h=-3

（2）∵抛物线与x轴的交点为坐标原点O和B（4，0），
故可设此抛物线的解析式为y=ax（x-4），
又抛物线过点A(1，-

3

)，
∴-

3

=a×1×(1-4)，
∴a=

3

3

故此抛物线的解析式为y=

3

3

x(x-4)=

3

3

x2-

4 3

3

x，

（3）∵抛物线对称轴垂直平分OB，而C是其上一点，
∴CO=CB，
∴∠COB=∠CBO=45°，
故∠OCB=180°-∠COB-∠CBO=90°．
∵PN⊥OC，
∴∠ONP=90°，
∴∠ONP=∠OCB，
又∠PON=∠BOC，
∴△PON∽△BOC，
∴

PN

BC

=

OP

OB

，
同理可证

PM

OA

=

PB

OB

∴

PM

OA

 + 

PN

BC

 = 

PB

OB

 + 

OP

OB

=1．

点评：本题主要考查二次函数的应用，求二次函数的解析式等知识点．