Question

1．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=$\frac{{{k^2}+3k-3}}{x}$的图象上若点A的坐标为（$\sqrt{5}$，$-\sqrt{5}$），则k的值为（　　）

• A． -2或-1
• B． -2或1
• C． -5或1
• D． 5或1

Answer 1

分析 设C（x，y）．根据矩形的性质、点A的坐标分别求出B（$\sqrt{5}$，y）、D（x，-$\sqrt{5}$）；根据“矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点”及直线AB的几何意义求得xy=-5①，又点C在反比例函数y=$\frac{{{k^2}+3k-3}}{x}$的图象上，所以将点C的坐标代入其中求得xy=k²+3k-3②；联立①②解关于k的一元二次方程即可．

解答 解：设C（x，y）．
∵四边形ABCD是矩形，点A的坐标为（$\sqrt{5}$，-$\sqrt{5}$），
∴B（$\sqrt{5}$，y）、D（x，-$\sqrt{5}$）；
∵矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，
∴设直线BD的函数关系式为：y=mx，
∵B（$\sqrt{5}$，y）、D（x，-$\sqrt{5}$），
∴k=$\frac{y}{\sqrt{5}}$，k=$\frac{-\sqrt{5}}{x}$，
∴$\frac{y}{\sqrt{5}}$=$\frac{-\sqrt{5}}{x}$，即xy=-5；①
又∵点C在反比例函数y=$\frac{{{k^2}+3k-3}}{x}$的图象上，
∴xy=k²+3k-3，②
由①②，得
k²+3k+2=0，即（k+1）（k+2）=0，
∴k=-1或k=-2，
故选A．

点评 本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质．解答此题的难点是根据C（x，y）求得B、D两点的坐标，求得xy的值．