Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB边上（不与A、B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是

 

．

Answer 1

考点：矩形的判定与性质,垂线段最短,勾股定理

专题：

分析：连接CP，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．

解答：解：如图，连接CP．
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=

32+42

=5，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形CFPE是矩形，
∴EF=CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S_△ABC=

1

2

BC•AC=

1

2

AB•CP，
即

1

2

×4×3=

1

2

×5•CP，
解得CP=2.4．
故答案为：2.4．

点评：本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．