Question

【题目】如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝90°，交OA于点D，OB于点E．

（1）求证：CD＝CE；

（2）图1中，若OC＝3，求OD+OE的长；

（3）如图2，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝60°，交OA于点D，OB于点E．若OC＝3，求四边形OECD的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H，证明△CDG≌△CEH，可得结论；

（2）由（1）可得DG＝HE，设OH＝CH＝x，在Rt△OCH中，由勾股定理求出OH，则OD＋OE＝2OH＝；

（3）过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H，可得∠CDG＝∠CEO，证明△CDG≌△CEH，可得DG＝HE，求出OH＝，CH＝，根据S四边形OECD＝2S△OCG可求出答案．

（1）证明：如图1，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H，

∵OC平分∠AOB，

∴CG＝CH

∵∠AOB＝90°，∠DCE＝90°，

∴∠CDO+∠CEO＝180°，

∵∠CDG+∠CDO＝180°，

∴∠CDG＝∠CEO，

在△CDG与△CEH中

，

∴△CDG≌△CEH（AAS），

∴CD＝CE；

（2）解：由（1）得△CDG≌△CEH，

∴DG＝HE，

∵

∴△OCG与△OCH是全等的等腰直角三角形，且OG＝OH，

∴OD+OE＝OD+OH+HE＝OG+OH＝2OH，

设OH＝CH＝x，在Rt△OCH中，由勾股定理，得：

OH2+CH2＝OC2

∴x2+x2＝32

∴（舍负）

∴OH＝

∴OD+OE＝2OH＝；

（3）解：如图，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H，

∵OC平分∠AOB，

∴CG＝CH，

∵∠AOB＝120°，∠DCE＝60°，

∴∠CDO+∠CEO＝180°，

∵∠CDG+∠CDO＝180°，

∴∠CDG＝∠CEO，

在△CDG与△CEH中

，

∴△CDG≌△CEH（AAS），

∴DG＝HE，

∵OC平分∠AOB，CG⊥OA， CH⊥OB

∴△OCG与△OCH是全等的直角三角形，且OG＝OH，

∴OD+OE＝OD+OH+HE＝OG+OH＝2OH，

∴S四边形OECD＝S四边形OHCG＝2S△OCG

在Rt△OCH中，有∠COH＝60°，OC＝3，

∴OH＝，CH＝

∴，

∴S四边形OECD＝2S△OCG＝．