Question

已知：关于x的方程x²－2mx＋3m＝0的两个实数根是x₁、x₂，且(x₁－x₂)²＝16．如果关于x的另一个方程x²－2mx＋6m－9＝0的两个实数根都在x₁和x₂之间，求m的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵x1，x2是方程x2－2mx＋3m＝0 　　(1)的两个实数根 　　∴x1＋x2＝2m，x1·x2＝3m 　　∵(x1－x2)2＝16 　　－2x1x2＋＝16 　　＋2x1x2－2x1x2－2x1x2＋＝16 　　∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16 　　(2m)2－4·3m＝16 　　∴4m2－12m＝16 　　4m2－12m－16＝0 　　m2－3m－4＝0 　　(m＋1)(m－4)＝0 　　解得m1＝－1，m2＝4 　　(i)当m＝－1时， 　　方程(1)为x2－2(－1)x＋3(－1)＝0 　　即　　x2＋2x－3＝0 　　(x＋3)(x－1)＝0 　　解得x1＝－3，x2＝1 　　方程x2－2mx＋6m－9＝0(2)为x2－2(－1)x＋6(－1)－9＝0 　　x2＋2x－6－9＝0 　　即　　x2＋2x－15＝0 　　(x＋5)(x－3)＝0 　　解得＝－5，＝3 　　∵－5，3不在－3和1之间 　　∴m＝－1不合题意，舍去． 　　(ii)当m＝4时， 　　方程(1)为x2－2·4·x＋3·4＝0 　　即x2－8x＋12＝0 　　(x－2)(x－6)＝0 　　解得x1＝2，x2＝6 　　方程(2)为x2－2·4·x＋6·4－9＝0 　　x2－8x＋24－9＝0 　　即　　x2－8x＋15＝0 　　(x－3)(x－5)＝0 　　解得＝3，＝5 　　∴2＜3＜5＜6，即x1＜＜＜x2 　　∴方程(2)的两根都在方程(1)的两根之间 　　∴m＝4 　　综合(i)(ii)，m＝4

提示：

本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，由两根之和、两根之积与系数的关系以及“(x1－x2)2＝16”求出m的值，进而求得方程x2－2mx＋3m＝0及方程x2－2mx＋6m－9＝0的两个根，再根据“方程x2－2mx＋6m－9＝0的两个实数根都在方程x2－2mx＋3x＝0的两个实数根x1和x2之间”确定m的值．