Question

已知：关于x的方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0．
（1）求证：m取任何实数量，方程总有实数根；
（2）若二次函数y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称；
①求二次函数y₁的解析式；
②已知一次函数y₂=2x-2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁≥y₂均成立；
（3）在（2）条件下，若二次函数y₃=ax²+bx+c的图象经过点（-5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y₁≥y₃≥y₂均成立，求二次函数y₃=ax²+bx+c的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先此题的方程并没有明确是一次方程还是二次方程，所以要分类讨论：
①m=0，此时方程为一元一次方程，经计算可知一定有实数根；
②m≠0，此时方程为一元二次方程，可表示出方程的根的判别式，然后结合非负数的性质进行证明．
（2）①由于抛物线的图象关于y轴对称，那么抛物线的一次项系数必为0，可据此求出m的值，从而确定函数的解析式；
②此题可用作差法求解，令y₁-y₂，然后综合运用完全平方式和非负数的性质进行证明．
（3）根据②的结论，易知y₁、y₂的交点为（1，0），由于y₁≥y₃≥y₂成立，即三个函数都交于（1，0），结合点（-5，0）的坐标，可用a表示出y₃的函数解析式；已知y₃≥y₂，可用作差法求解，令y=y₃-y₂，可得到y的表达式，由于y₃≥y₂，所以y≥0，可据此求出a的值，即可得到抛物线的解析式．

解答：解：（1）分两种情况：
当m=0时，原方程可化为3x-3=0，即x=1；
∴m=0时，原方程有实数根；
当m≠0时，原方程为关于x的一元二次方程，
∵△=[-3（m-1）]²-4m（2m-3）=m²-6m+9=（m-3）²≥0，
∴方程有两个实数根；
综上可知：m取任何实数时，方程总有实数根．

（2）①∵关于x的二次函数y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称；
∴3（m-1）=0，即m=1；
∴抛物线的解析式为：y₁=x²-1．
②∵y₁-y₂=x²-1-（2x-2）=（x-1）²≥0，
∴y₁≥y₂（当且仅当x=1时，等号成立）．

（3）由②知，当x=1时，y₁=y₂=0，即y₁、y₂的图象都经过（1，0）；
∵对应x的同一个值，y₁≥y₃≥y₂成立，
∴y₃=ax²+bx+c的图象必经过（1，0），
又∵y₃=ax²+bx+c经过（-5，0），
∴y₃=a（x-1）（x+5）=ax²+4ax-5a；
设y=y₃-y₂=ax²+4ax-5a-（2x-2）=ax²+（4a-2）x+（2-5a）；
对于x的同一个值，这三个函数对应的函数值y₁≥y₃≥y₂成立，
∴y₃-y₂≥0，
∴y=ax²+（4a-2）x+（2-5a）≥0；
根据y₁、y₂的图象知：a＞0，
∴（4a-2）²-4a（2-5a）≤0，即（3a-1）²≤0，
而（3a-1）²≥0，故a=

1

3

∴抛物线的解析式为：y=

1

3

x²+

4

3

x-

5

3

．

点评：此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、完全平方公式、非负数的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，难度较大．