Question

16．如图，已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC，若D为BC上一点，且到A，B两点距离相等．
（1）利用尺规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，若AB=5，AC=3，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）作AB的垂直平分线交BC于D点，则DA=DB；
（2）先Rt△ABC中利用勾股定理计算出BC=4，设CD的长为x，则BD的长为（4-x），所有AD=BD=4-x，然后在Rt△ACD中利用勾股定理得到3²+x²=（4-x）²，再解方程求出x即可．

解答 解：（1）如图，点D为所作；

（2）在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
设CD的长为x，则BD的长为（4-x），
由题意得AD=BD=4-x，
在Rt△ACD中，∵AC²+CD²=AD²，
∴3²+x²=（4-x）²，
解得$x=\frac{7}{8}$，
∴CD的长为$\frac{7}{8}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理．