Question

如图，已知正方形ABCD，AC、BD相交于点O，E为AC上一点，AH⊥EB交EB于点H，AH交BD于点F．
（1）若点E在图1的位置，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论；
（2）若点E在AC的延长线上，请在图2中按题目要求补全图形，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）OE=OF．根据正方形的性质，用AAS判定△AOF≌△BOE，全等三角形的对应边相等，OE=OF．
（2）类比（1）的方法证得同理得出结论成立．

解答：解：（1）OE=OF．理由如下：
在正方形ABCD中，
∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，
∴∠OBE+∠BEO=90°，
∵AH⊥EB，
∴∠AHE=90°，
∴∠HAE+∠AEH=90°，
∴∠OBE=∠OAF，
在△AOF和△BOE中，

∠AOF=∠BOE AO=BO ∠OAF=∠OBE

，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE=OF．

（2）OE=OF仍然成立．
理由：如图，在正方形ABCD中，∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，
∴∠FAO+∠F=90°，
∵AH⊥EB，∴∠AHE=90°，
∴∠HAE+∠E=90°，
∴∠E=∠F，
在△AOF和△BOE中，

∠AOF=∠BOE  ∠E=∠F  AO=BO

，
∴△AOF≌△BOE（AAS），
∴OE=OF．
所以结论仍然成立．

点评：此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定与性质的理解及运用．正确证明三角形全等是关键．