Question

2．已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB=AC，⊙O的半径等于10cm，圆心O到BC的距离为6cm，则AB的长等于8$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 此题分情况考虑：当三角形的外心在三角形的内部时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得AB的长；当三角形的外心在三角形的外部时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得AB的长．

解答 解：如图1，当△ABC是锐角三角形时，连接AO并延长到BC于点D，
∵AB=AC，O为外心，
∴AD⊥BC，
在Rt△BOD中，
∵OB=10，OD=6，
∴BD=$\sqrt{{OB}^{2}-{OD}^{2}}$=$\sqrt{{10}^{2}-{6}^{2}}$=8．
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB=$\sqrt{{AD}^{2}+{BD}^{2}}$=$\sqrt{{16}^{2}+{8}^{2}}$=8$\sqrt{5}$（cm）；
如图2，当△ABC是钝角或直角三角形时，连接AO交BC于点D，
在Rt△BOD中，
∵OB=10，OD=6，
∴BD=$\sqrt{{OB}^{2}-{OD}^{2}}$=$\sqrt{{10}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴AD=10-6=4，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB=$\sqrt{{BD}^{2}+{AD}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$（cm）．
故答案为：8$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是垂径定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．