Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-

1

3

x+b分别交x轴、y轴于A、B两点．点C（2，0）、D（8，0），以CD为一边在x轴上方作矩形CDEF，且CF：CD=1：3．设矩形CDEF与△ABO重叠部分的面积为S． 
（1）求点E、F的坐标；   
（2）求s与b的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）若把点O关于直线l的对称点记为点G，在直线l上下平移的过程中，平面上是否存在这样的点P，使得以A、P、E、G为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据矩形的性质，可得CF、EF的长，根据矩形的各边长，可得答案；
（2）分类讨论，0＜b≤

2

3

时，没有重叠部分；当

2

3

＜b≤

8

3

时，重叠部分是三角形，根据三角形的面积公式，可得答案；当

8

3

＜b≤

14

3

时，重叠部分是矩形与梯形的组合，根据面积的和差，可得答案；b＞

14

3

时，重叠部分的面积是CDEF的面积；
（3）分类讨论，菱形AEPG，菱形AGEP，菱形AGPE，菱形AEGP，四条边都相等的四边形是菱形，分别可得，P点坐标，B的值．

解答：解：（1）∵C（2，0），D（8，0），∴CD=8-2=6
∵矩形CDEF中，CF：CD=1：3，
∴CF=DE=2，
∵点E、F在第一象限，
∴E（8，2），F（2，2）；
（2）由题意，可知A（3b，0），B（0，b），在Rt△ABO中，tan∠BAO=

OB

OA

=

1

3

，
①当0＜b≤

2

3

时，如图1
，
S=0；
②当

2

3

＜b≤

8

3

时，如图2
，
设AB交CF于G，AC=3b-2，
在Rt△AGC中，∵tan∠BAO=

GC

AC

=

1

3

，∴CG=

1

3

(3b-2)．
∴S=

1

2

(3b-2)

1

3

(3b-2)，即S=

1

6

(3b-2)2；
③当

8

3

＜b≤

14

3

时，如图3
，
设AB交EF于G，交ED于H，AD=3b-8，
在Rt△ADH中，∵tan∠BAO=

DH

AD

=

1

3

，∴HD=

1

3

(3b-8)，HE=2-

1

3

(3b-8)=

14

3

-b，
在矩形CDEF中，∵CD∥EF，∴∠EGH=∠BAO，
在Rt△EGH中，∵tan∠EGH=

EH

EG

=

1

3

，∴EG=14-3b，
∴S=12-

3

2

(

14

3

-b)2；
④当b＞

14

3

时，如图4
，
S=12．

（3）b=

52

9

，

17

12

，

-14+8 19

9

，

-14-8 19

9

，
点P坐标(

64

5

，

42

5

)，(

23

5

，

91

20

)，(

64+32 19

15

，

24-8 19

5

)，(

64-32 19

15

，

24+8 19

5

)．

点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了矩形的性质，菱形的判定，分类讨论是解题关键．