Question

 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数y=

k1

x

（x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y=k₂x+b．
（1）求反比例函数和直线EF的解析式；
（2）求△OEF的面积；
（3）请结合图象直接写出不等式k₂x+b-

k1

x

＞0的解集．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：代数几何综合题

分析：（1）先利用矩形的性质确定C点坐标（6，4），再确定A点坐标为（3，2），则根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k₁=6，即反比例函数解析式为y=

6

x

；然后利用反比例函数解析式确定F点的坐标为（6，1），E点坐标为（

3

2

，4），再利用待定系数法求直线EF的解析式；
（2）利用△OEF的面积=S_矩形BCDO-S_△ODE-S_△OBF-S_△CEF进行计算；
（3）观察函数图象得到当

3

2

＜x＜6时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即k₂x+b＞

k1

x

．

解答：解：（1）∵四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），
∴C点坐标为（6，4），
∵点A为线段OC的中点，
∴A点坐标为（3，2），
∴k₁=3×2=6，
∴反比例函数解析式为y=

6

x

；
把x=6代入y=

6

x

得y=1，则F点的坐标为（6，1）；
把y=4代入y=

6

x

得x=

3

2

，则E点坐标为（

3

2

，4），
把F（6，1）、E（

3

2

，4）代入y=k₂x+b得

6k2+b=1 3 2 k2+b=4

，解得

k2=- 2 3 b=5

，
∴直线EF的解析式为y=-

2

3

x+5；

（2）△OEF的面积=S_矩形BCDO-S_△ODE-S_△OBF-S_△CEF
=4×6-

1

2

×4×

3

2

-

1

2

×6×1-

1

2

×（6-

3

2

）×（4-1）
=

45

4

；

（3）由图象得：不等式k₂x+b-

k1

x

＞0的解集为

3

2

＜x＜6．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法确定函数解析式．