Question

如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F，BP=8，则PF=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：根据等边三角形的性质可得AC=BC，∠BAD=∠C=60°，然后利用“边角边”证明△ABD和△CAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠CAE，然后求出∠BPF=∠BAC=60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠PBF=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．

解答：解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠BAD=∠C=60°，
在△ABD和△CAE中，

AC=BC ∠BAD=∠C=60° AD=CE

，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠CAE，
∴∠BPF=∠BAP+∠ABD=∠BAP+∠CAE=∠BAC=60°，
∵BF⊥AE，
∴∠BFP=90°，
∴∠PBF=90°-60°=30°，
∴PF=

1

2

BP=

1

2

×8=4．
故答案为：4．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并确定出全等三角形，然后求出∠BPF=60°是解题的关键．